[](Parameterization.md) ### **Parameterization** **描述**： **三角网格参数化技术**。网格参数化可以把三维模型，通过构建相应的数学系统，映射到二维平面。映射后每个网格顶点的**坐标由（x,y,z）转变为（u,v,0）**，相当于Grasshopper中 **【Surface Closest Point】** 运算器的UV Point 端口的离散版。常作为网格算法的底层算法用于贴图、网格重构和复杂曲面展开等技术。 **输入端**： * Geometry: 输入开放的几何体模型； * Method: 网格参数化方法。输入'0' = Tutte重心映射（Tutte Barycentric Mapping）； '1' = 离散保面积参数化（Discrete Authalic Parameterization）； '2' = 离散保角参数化（Discrete Conformal Map）； '3' = 浮点中值坐标（Floater Mean Value Coordinates）； '4' = 最小二乘保角参数化（Least Squares Conformal Maps）； '5' = ARAP参数化（As Rigid As Possible Parameterization）。关于这些算法更详细的信息可以访问[**CGAL_Parameterization**]([https://doc.cgal.org/latest/Surface\_mesh\_parameterization/index.html#Chapter\_Planar\_Parameterization\_of\_Triangulated\_Surface\_Meshes](https://doc.cgal.org/latest/Surface_mesh_parameterization/index.html#Chapter_Planar_Parameterization_of_Triangulated_Surface_Meshes)) * BorderType：边界类型。 **输出端口**： * Mesh: 输出参数化后的网格模型。 * UV: 输出参数化后的顶点。 **拓展**： :-:  三角形网格参数化的目的是**获得此三角形网格在一个特定的参数化域的三角化的映射**。也就是把网格模型上的每个三角形映射到参数化域上的三角形。映射后的域三角形和源三角形在形状上通常会发生变化，从而产生角度扭曲和面积扭曲。参数化映射的目标是使整个网格上的三角形这些扭曲之和最小化。除了**可展曲面（Develop Surface）**的网格模型才能获得没有扭曲的参数化映射，如圆柱，圆锥等。这种没有扭曲的参数化称为**距参数化（Isometric Parameterization）**。使角度扭曲最小化的映射称为**保角参数化（Conformal Parameterization）**，使面积扭曲最小化的映射称为**保面积参数化（Authalic Parameterization）**。 总的来说，参数化问题就是：**给定一个由空间点集组成的三角网格和一个二维参数域。求一个参数域上的点Pi到网格上的点pi的一一映射。使得参数域上的网格与原网格拓扑结构同构，并保证参数与上的三角形步重叠的同时谋求某种与原始网格之间几何变量的变形的最小化。** :-:  **保面积参数化**（Discrete Authalic Parameterization） 上图为一个保面积参数化的实例。同样的人脸曲面被映射到平面圆盘，通过整体缩放变换，人脸曲面的总面积等于平面圆盘的总面积。我们在人脸曲面上任选一个子区域S，映射将S映射到平面一个区域，则曲面上的区域面积等于平面区域的面积。 :-:  **保角参数化**（Discrete Conformal Map） 上图为一个保角参数化的实例。这一映射将一三维人脸曲面映射到平面圆盘上。我们在人脸曲面任意画两条相交曲线，这两条曲面上的空间曲线被映射到平面上的两条曲线，空间曲线的交点被映成平面曲线的交点，在交点处，空间曲线的夹角等于平面曲线的交角。这两条空间曲线任意选取，其交角被映射完美保持。 **ARAP参数化**（As Rigid As Possible Parameterization） ARAP参数化是一种基于迭代能量最小化过程的保形方法。要求三角形的变换矩阵只能是旋转矩阵，也就是所有的三角形要求是刚性的，不能发生拉伸形变。这样可以尽可能地维持三角形原来的形状，从而就可以尽可能地保持三维模型的整体形状。 **应用**： 一、曲面划分与展开技术 :-:  二、曲面贴图技术 :-:  三、网格重构技术 :-: